ダーヴィット・ヒルベルト【現代数学の父・高木貞治の師・そしてフォンノイマンを評価】

数の概念
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ダーヴィット・ヒルベルト【1862年1月23日～ 1943年2月14日】

引用：Wikimedia Commons

ヒルベルトの名前を英語でつづるとDavid Hilbertとなり
ドイツ語:でつづるとˈdaːvɪt ˈhɪlbɐtとなります。誰しもが認める
「現代数学の父」がヒルベルトです。遅ればせながら、
誰しもが認める大物をご紹介します。
ヒルベルトは当時プロイセン王国領だったケーニヒスベルク
（今はロシア領であるカリーニングラード）に生まれました。

ヒルベルトはケーニヒスベルク大学に進学し学びますが、この大学では別途、
カントが（別の時代に）学び、学長を務めていたような歴史ある大学です。もともと
ドイツ騎士団だった人物が設置した大学で、第二次大戦後は
ソビエト連邦領として統治されていました。

初稿を記した2022年からウクライナとロシアの紛争が続いています。ロシアの
領土を巡る経緯は非常に根深いものがあると感じさせる地方です。
思えば旧東ドイツも第二次大戦後は実質的にロシアの支配下あったとも言えます。

プロイセン王国ではありますが、後の時代には他国であったような地方でヒルベルトは
生まれ学びました。後に多彩な才能がヒルベルトを育てました。特にウェーバーは
ドイツ数学の影響をヒルベルトに与えたと言われています。

ヒルベルトの伝記(C．リード著)を読んで
博士号授与時の言葉が印象的でしたので記載します。
学部長は求めました。

「あなたの厳粛な宣誓を求めます。真の科学を雄々しく擁護し、それを発展させ、
より見事なものにすること、そしてこれを利益の追求や虚栄のためにではなく、
神の真実の光が広がるために行うこと、これをあなたの真心を込めて約束することを。」

ヒルベルトはこの言葉に対して宣誓を誓い学位を受けました。

更に、同大学でヘルマン・ミンコフスキーとアドルフ・フルヴィッツと
刺激を与えあう関係を持ちます。なかんずくミンコフスキーとは
「最良にして、本当の友人」と感じるような関係を築きました。

上記の伝記でヒルベルトは45歳の時に自転車に乗り始めたときのことが描かれています。
自転車は「彼(ヒルベルト)の創造活動に欠かせない付随物になかつた」と記されています。
当時のケ゚ッチンゲン大では大変自転車が流行していて、ヒルベルトは
バラの花壇の周りを八の字にクルクル周って楽しんでいたようです。

またヒルベルトは偉大な数学者を多数、指導輩出しています。教育者として
非常に優れています。ヒルベルトはゲッティンゲン大学で色々な人を指導していきました。

ゲッティンゲン大学に居た一人であるヨハネス・ルートヴィヒ・フォン・ノイマン
（のちのジョン・フォン・ノイマン）の論文を評価していて、
ノイマンは後に原子爆弾やコンピュータの開発で特筆される業績を残します。

また、後述する「ヒルベルト空間」の名付け親はノイマンだと言われています。
「三次元ユークリッド空間」を発展させていったのです。ヒルベルトは
当時22歳であったノイマンをゲッティンゲン大学に招いて育てたのです。

また日本人では東大の高木貞治がドイツ留学時代ヒルベルトの指導を受けた
と言われています。思い返せば恐縮ながら、私も高木貞治の教科書を使っていたので、
日本で数学を志す若者もヒルベルトの影響を受けていたのです。明文化すると少し感慨深いです。

ヒルベルトは不変式論、抽象代数学、代数的整数論、積分方程式、関数解析学、幾何学の
公理系の研究、一般相対性理論などで個別にあった公理を整理して応用を考えました。

ヒルベルトが目指したのは、「数学全体を矛盾のない公理体系として整理すること」でした。個別に発展
してきた幾何学・代数学・解析学などを共通の論理で組み立て直し、数学全体の土台を明確にしよう
と考えたのです。この壮大な構想は現在「ヒルベルト・プログラム」と呼ばれています。

また現実の現象（人間の頭の中での認識群）との相関を考えた時に、
多岐に及ぶ業績を「結びつける試み」であると思えます。
ヒルベルトの「公理論と数学的な整合性の証明」に関する
一連の計画はヒルベルト・プログラムと呼ばれ、
現代で理解されています。

後にフォン・ノイマンは、ヒルベルトが積分方程式の研究で
自然に導入した無限次元の内積空間を体系化し、
数学的に厳密な「ヒルベルト空間」として定義しました。

これは量子力学の数学的基盤を支える基本概念となり、
現代解析学の中心的な道具のひとつになっています。

また、ヒルベルトの零点定理などに名前が残っています。

ヒルベルトの数学が現代へ残したもの

ヒルベルトの功績は、一つの定理や一つの理論を発見したこと
だけではありません。数学全体を統一的に整理し、
未来の数学者へ研究課題を提示したこと、そして
量子力学を支える数学的基盤を築いたことにあります。

現在でも数学・物理学・情報科学の多くの分野で、
ヒルベルトの考え方は受け継がれています。
代表的なものとして、ヒルベルト空間、23の問題、
そしてヒルベルト・プログラムが挙げられます。

ヒルベルト空間とは何か

ヒルベルト空間とは、無限次元まで拡張されたユークリッド空間と考えると
理解しやすいでしょう。通常の三次元空間では、点やベクトルを用いて
長さや角度を議論しますが、ヒルベルト空間では関数そのものを
一つの「点」とみなし、距離や角度を定義できます。この考え方によって
複雑な微分方程式や積分方程式を体系的に扱えるようになりました。

後にジョン・フォン・ノイマンはこの概念を厳密に整理し、量子力学では
電子や原子の状態を表す波動関数を記述する数学的舞台として
ヒルベルト空間を採用しました。現在では量子力学だけでなく、
AI・画像処理・信号解析・機械学習など幅広い分野で応用されています。

1900年パリ万博と23の問題

1900年、パリ万国博覧会に合わせて開催された国際数学者会議で、
ヒルベルトは「これから100年間で数学者が挑戦すべき課題」として
23の問題を発表しました。

これは単なる難問集ではなく、
数学という学問全体の進むべき方向を示した研究計画でした。
その後100年以上を経た現在でも、
解決された問題もあれば未解決の問題も存在します。

20世紀数学の発展は、この23の問題に刺激を受けた研究によって
大きく推し進められたと言われています。
ヒルベルトは未来の数学者へ宿題を残した人物でもあったのです。

ヒルベルト・プログラムとは何か

ヒルベルト・プログラムとは、
数学全体を矛盾のない公理体系として構築しようとした壮大な研究計画です。
数学のあらゆる定理は、公理から論理的に導き出せることを証明し、
数学そのものの安全性を保証しようと考えました。
しかし1931年、
クルト・ゲーデルが「不完全性定理」を発表すると、
十分に豊かな数学体系では、
体系自身の無矛盾性を内部だけで証明することはできないことが示されました。
ヒルベルトの夢は完全な形では実現しませんでしたが、
その挑戦は数理論理学やコンピュータ科学を誕生させる大きな原動力となりました。

ヒルベルトと数学

何よりヒルベルトはドイツの数学レベルを世界最高の水準へと、ひきあげた
数学者達の一人でした。一流の数学者でした。そんなヒルベルトは、晩年に
ナチスドイツによるユダヤ人迫害を目の当たりにしています。ドイツの数学研究所から
ユダヤ人たちが一人一人いなくなっていく様子に心を痛めていたそうです。

また晩年(1927年頃)、上記の伝記によるとヒルベルトは人間関係で困難に
直面しています。特にAnnalenという雑誌の主筆の間での話が有名で、
Vol100の表紙での人選で揉めたり、国際会議のボイコット騒ぎがあったり
しました。「アインシュタインは3人の主筆の1人であったが、この論争に煩わされて、
その地位を辞した」と言われています。そして言いました。
「一体、この数学者同志の仲間争いは何事かね??」(アインシュタインが友人にぼやいた言葉)

前後の人物

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リーマン幾何学

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ヒルベルト

↓

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ヒルベルト空間

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【量子力学　→　コンピュータ】

この分野の数学者・

（対応英訳）

Hilbert’s name is spelled in English as David Hilbert and German: as ˈdaːvɪt ˈhɪlbɐt. The undisputed “father of modern mathematics” is Hilbert. I will introduce the big game that everyone recognizes, though it is late. Hilbert was born in Königsberg (now Russian territory Kaliningrad), which was then the Kingdom of Prussia.

Hilbert goes on to study at the University of Königsberg, which is a historic university where Kant studied (at another time) and was the president. The university was originally set up by a man who was the Teutonic Order, and was ruled as the Soviet Union territory after World War II. In 2022, when I wrote the article, the conflict between Ukraine and Russia continued, but it is a region that makes me feel that the history of Russia’s territory is very deep-rooted. If you think about it, it can be said that the former East Germany was also under the control of Russia.

Although it is the Kingdom of Prussia, Hilbert was born and learned in a region that would have been another country in later times. Later, various talents raised Hilbert. In particular, Weber is said to have influenced Hilbert with German mathematics. In addition, he has an inspiring relationship with Hermann Minkowski and Adolf Hurwitz at the university. Above all, he had a relationship with Minkowski that made him feel “best and true friend”.

Hilbert has also produced many great mathematicians. He is very good as an educator. Hilbert taught various people at the University of Göttingen. He appreciates the paper of one of them, Johannes Ludwig von Neumann (later John von Neumann), who later made remarkable achievements in the development of atomic bombs and computers. In addition, it is said that Neumann is the godfather of “Hilbert space” described later.

He developed the “three-dimensional Euclidean space”. Hilbert invited Neumann, who was 22 at the time, to the University of Göttingen to raise him. It is said that Teiji Takagi of the University of Tokyo received guidance from Hilbert when he was studying in Germany. Looking back, I’m sorry to say that I also used Teiji Takagi’s textbook, so young people who aspired to mathematics in Japan were also influenced by Hilbert. I am a little deeply moved when it is written.

What seems to be a big achievement of Hilbert is the work that can be said to be the integration plan of mathematical concepts. It is an invariant theory, abstract algebra, algebraic integer theory, integral equations, functional analysis, research on axioms of geometry, general relativity theory, etc.

When considering the correlation with the phenomenon (recognition group in the human mind), it seems to be an “attempt to connect” a wide range of achievements. Hilbert’s program, a series of plans for proof of mathematical consistency with Hilbert’s public theory, is called the Hilbert Program and is understood today. Later, von Neumann continued his discussion, developing a space called Hilbert space from the three-dimensional Minkowski space. In addition, the name remains in Hilbert’s zero point theorem.

Above all, Hilbert was one of the mathematicians who raised the level of mathematics in Germany to the highest level in the world. He was a leading mathematician. Hilbert witnessed the persecution of Jews by Nazi Germany in his later years. He was hurt by the disappearance of each Jew from the Deutsche Mathematics Institute.

ダーヴィット・ヒルベルト
【現代数学の父・高木貞治の師・そしてフォンノイマンを評価】